関数と図形が組み合わさった「あの問題」
高校入試の数学でよく問われるのが「関数と図形の融合問題」。
放物線や直線の上に三角形や四角形ができて、「面積を求めよ」「線分の長さを求めよ」って聞かれるやつだね。
「関数だけならできるのに、図形が混ざると急にわからなくなる…」って感じていないかな？
でも実は、基本になるパターンは大きく3つ。パターンを知って手順通りにやれば、かなり解けるようになるよ。
パターン① 座標上の三角形の面積
よく出る王道パターンがこれ。
放物線 y = ax² と直線 y = mx + n の交点をA、Bとし、直線とy軸の交点をCとする。原点をOとするとき、△OABの面積を求めよ。
間違えやすいポイント
「底辺×高さ÷2」をなんとなくやろうとして、斜めの辺を底辺にしてしまう → 高さが求められずフリーズ
底辺はy軸に平行（縦）か x軸に平行（横）にとる！
こうすれば「高さ」は座標の差で簡単に出せる
解き方の手順
Step 1：交点の座標を求める → 放物線と直線の式を連立方程式として解いて、A、Bの座標を出す
Step 2：底辺と高さを決める → y軸上の点Cを使い、y軸で△OABを左右2つの三角形に分割する → どちらの三角形も底辺はOC（y軸上の縦の線分）、高さはAやBからy軸までの距離（x座標の絶対値）になる
Step 3：面積の公式に当てはめる → 分割した2つの三角形の面積を足す
練習問題①
放物線 y = x² と直線 y = x + 2 の交点をA、Bとし（Aが左側）、直線とy軸の交点をCとする。原点をOとするとき、△OABの面積を求めよ。
解き方：y軸で分割する方法
C(0, 2) はy軸上の点だから、y軸（線分OC）で△OABを左右2つの三角形に分割しよう。
- 左の△OAC：底辺 OC = 2、高さ = Aからy軸までの距離 = 1 → ½ × 2 × 1 = 1
- 右の△OBC：底辺 OC = 2、高さ = Bからy軸までの距離 = 2 → ½ × 2 × 2 = 2
△OAB = △OAC + △OBC = 1 + 2 = 3
答え：3
実戦で速い式：底辺OCをまとめて使う
2つの三角形は底辺が同じOCだから、1本の式にまとめられる。
△OAB = ½ × OC × （Bのx座標 − Aのx座標）
練習問題①なら ½ × 2 × {2 − (−1)} = ½ × 2 × 3 = 3。さっきと同じ答えになるね。
検算に使える、座標から直接求める公式
O(0, 0)、A(−1, 1)、B(2, 4) を下の公式に代入すると：
S = ½ |(−1)(4 − 0) + 2(0 − 1) + 0(1 − 4)|
= ½ |−4 + (−2) + 0|
= ½ × 6 = 3
y軸で分割したときと同じ 3 になった。
3点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃) のとき：
S = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
これを覚えておけば、どんな座標の三角形でも面積が出せる。
ただし、この式は中学の教科書には出てこない。入試の途中式は「y軸で分割する方法」で書いて、この式は答えの確かめに使おう。
パターン② 線分の長さ・座標を文字で表す
放物線 y = ½x² 上に点Pがあり、Pのx座標を t とする。Pからx軸に垂線をひき、x軸との交点をQとする。線分PQの長さを t を使って表せ。
このパターンでは「座標を文字で置く」→「長さや面積を文字の式で表す」という流れが定番。
間違えやすいポイント
P の x座標を t とおいたとき、y座標を「y」のまま放置してしまう
Pは放物線 y = ½x² 上の点だから、y座標は ½t² になる！
→ P(t, ½t²) とすぐ書けるかがカギ
「グラフ上の点 → x座標を決めればy座標は自動的に決まる」
これが関数と図形の融合問題の最重要ルールだよ。
練習問題②
放物線 y = ½x² 上に点P（x座標が正）がある。Pからx軸に垂線をひき、x軸との交点をHとする。PH = 8 のとき、Pの座標を求めよ。
解答：
Pのx座標を t（t > 0）とすると、P(t, ½t²)
H は Pからx軸にひいた垂線とx軸との交点だから H(t, 0)
PH = ½t² − 0 = ½t²
½t² = 8 → t² = 16 → t = 4（t > 0）
答え：P(4, 8)
パターン③ 面積を二等分する直線
△OABの面積を、頂点Oを通る直線が二等分するとき、その直線の式を求めよ。
これが一番難しいやつ。でも考え方のコアは意外とシンプル。
三角形の1つの頂点と、対辺の中点を結ぶ直線は、その三角形の面積を二等分する。
つまり「中点を求める → 頂点と結ぶ → 直線の式を出す」の3ステップ！
練習問題③
原点Oと、放物線 y = x² 上の2点 A(−2, 4)、B(3, 9) がある。Oを通る直線ℓが△OABの面積を二等分するとき、直線ℓの式を求めよ。
解答：
直線ℓはOを通り、辺ABの中点Mを通る直線。
ABの中点M：
M = ( (−2 + 3) ÷ 2, (4 + 9) ÷ 2 ) = (1/2, 13/2)
直線OMの傾き：
(13/2 − 0) ÷ (1/2 − 0) = 13
答え：y = 13x
入試本番で使える「解き方チェックリスト」
□ Step 1：座標を全部求める
- 交点 → 連立方程式
- グラフ上の点 → x座標を式に代入してy座標を出す
- 軸との交点 → x = 0 や y = 0 を代入
□ Step 2：図をかく
- 座標平面に点を打って、三角形や線分を実際に描く
- これを省くと、点の位置や左右を取り違えやすい
□ Step 3：何を求めるか確認
- 面積 → y軸分割（確かめに座標の公式）
- 長さ → 座標の差 or 三平方の定理
- 直線の式 → 2点から傾きと切片
□ Step 4：文字が出てきたら「グラフ上の点」を活用
- x座標を t → y座標は関数の式に t を代入
まとめ
入試の「関数×図形」融合問題は、やることが決まっている。
- 座標を求める（連立方程式を正確に解く）
- 図を描く（これ本当に大事）
- パターンに当てはめる（面積・長さ・二等分）
この3つをていねいにやれば、しっかり得点を狙える問題だよ。
逆に言えば、連立方程式の計算ミスが一番の敵。入試では検算の時間を必ず取ろう。関数×図形は「難しそうに見えて、やることは基本の組み合わせ」だからね。
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