【中2数学】三角形の合同の証明を、型どおりに最後まで書けるようになる

証明問題、白紙で出してない？

計算はできるのに、証明問題だけ真っ白…ということはないかな。

でもね、証明が書けないのは、数学の力やひらめきが足りないからとは限らないよ。「書き方のルール（型）」を知らないだけかもしれない。

まず知ってほしい「証明の正体」

証明問題って、要するに相手を納得させる説明文なんだよね。「結論を言うために必要な材料を集めて、順番に並べる」もの。料理のレシピと同じだよ。

証明は3つの部分でできている：

1. 仮定（問題文で、はじめからわかっていること。「〜のとき」の部分）
2. 根拠（使う図形の性質や、すでに正しいとわかっていること。「対頂角は等しい」など）
3. 結論（証明したいこと。「〜を証明しなさい」の部分）

仮定から出発して、根拠を使いながら、結論まで順番に書いていく。それが証明だよ。

合同条件は3つだけ

三角形の合同を示すときに使える合同条件は、この3つだけ。ここが曖昧だと書けないので、先に確認しよう。

• 3組の辺がそれぞれ等しい
• 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
• 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

2つ目の「その間の」、3つ目の「その両端の」を飛ばして覚えていると、あとで出てくる「存在しない合同条件を使ってしまう」まちがいにハマりやすい。声に出して、この言葉ごと覚えよう。

証明が書ける3ステップ

ステップ1：ゴールを確認する

まず「何を証明しろと言われているか」を確認する。これが一番大事。

問題文の「〜を証明しなさい」の部分に書いてある。例えば：

• 「△ABC≡△DEF を証明しなさい」
• 「AB＝CD を証明しなさい」
• 「∠A＝∠D を証明しなさい」

ステップ2：ゴールに必要な「条件」を逆算する

ゴールが「三角形の合同」なら、上の3つの合同条件のどれかを使う。つまり、「辺や角が等しいこと」を3つ見つければいい。ゴールが「AB＝CD」のような辺や角のときは、それをふくむ2つの三角形の合同を先に示すことになる（あとの練習問題4がこの形）。

ここで図に印をつけよう。等しい辺には同じ印（辺の上に短い線を1本、2本…）、等しい角にも同じ印（○や×など）をつける。

ステップ3：型に当てはめて書く

あとは型に当てはめるだけ。三角形の合同の証明は、次の4つの部分を、この順番で書く。

〔使った合同条件〕のところには、たとえば「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」のように、合同条件をそのまま書く。

やることはこれだけ。証明を書くときに考えるのは、「どの2つの三角形か」と「等しい3つは何か」。文章を一から作る必要はないんだ。

そして、等しいものに書く「理由」は、まず次の4つから探そう。

図を見て「仮定・共通・対頂角・錯角」を順番に探す。ひらめきを待つんじゃなくて、点検作業なんだ。

実際にやってみよう

【例題】 下の図のように、四角形ABCDの対角線ACとBDの交点をPとする。AB＝DC、∠ABP＝∠DCP のとき、△ABP≡△DCP を証明しなさい。

A---------------D
| \           / |
|   \       /   |
|     \   /     |
|       P       |
|     /   \     |
|   /       \   |
| /           \ |
B---------------C

よくある失敗答案と、正しい書き方

「よくある間違い」の答案、言いたいことは合ってるんだけど、証明としてはダメ。なぜかというと：

• 「○○において」で始めていない（どの三角形の話か不明）
• 根拠に①②③…の番号をつけていない
• 対頂角など、足りない条件を書いていない
• どの合同条件を使ったかを書いていない

証明は、型どおりに根拠をそろえて書くことが大事なんだ。

減点されやすい3つのまちがい

型がわかったら、減点されやすいまちがいも確認しておこう。

まちがい1：対応の順番がバラバラ

合同は「≡」の左右で、対応する頂点を同じ順に書くのがルール。1行目で△AOCと△BODと宣言したら、最後までその順番を崩さない。知っていれば防げる失点だから、いちばんもったいないところだよ。

まちがい2：「なぜ等しいのか」の理由を書かない

証明は「答えを当てる問題」ではなく「なぜそう言えるかを説明する問題」。だから理由のない等式は、たとえ正しくても証明にならない。逆に言えば、理由を書き添えるだけで拾える点があるということ。

まちがい3：存在しない合同条件を使ってしまう

「2辺と、間じゃない角」では三角形は1つに決まらない。だから合同条件になっていないんだ。合同条件のところで「その間の」「その両端の」を声に出して覚えてほしいと言ったのは、ここで効くから。例題の④も、「その両端の角」をそろえるために必要だったんだよ。

書いたあとに、「この角、ちゃんと2辺の間にある？」「この2角、ちゃんと辺の両端にある？」と図で指差し確認する。これを習慣にすると、この失点は防げる。

練習問題4問（手を動かして）

型を覚えたら、あとは使うだけ。4問とも、上の型に当てはめて書いてみよう。ノートに実際に書くのが大事。読むだけだと、書けるようにはならないよ。

問題1

線分ABと線分CDが点Oで交わっている。AO＝BO、CO＝DO のとき、△AOC≡△BOD を証明しなさい。

問題2

△ABCで AB＝AC である。辺BCの中点をMとするとき、△ABM≡△ACM を証明しなさい。

問題3

AB∥DC で、線分ACと線分BDが点Oで交わっている。AO＝CO のとき、△AOB≡△COD を証明しなさい。

問題4（合同を使って、辺が等しいことを示す）

AB＝AC の二等辺三角形ABCで、辺ABの中点をM、辺ACの中点をNとする。BN＝CM を証明しなさい。

ヒント：

1. ゴールは「BN＝CM」→ 三角形の合同を使って等しい辺を導く
2. どの三角形とどの三角形が合同？ → △ABN と △ACM を見てみよう
3. 中点ということは？ → AM＝AN（ABとACの半分）

書けたかな？ 答え合わせをしよう。

問題1の解答

∠AOCは辺AOと辺COの間の角。ちゃんと「間」になっているか確認できたかな。線が交わっている図が出たら、まず対頂角を疑う——これが型どおりの動きだよ。

問題2の解答

ここのポイントは③の「共通」。2つの三角形が同じ辺を分け合っているとき、それは無条件で等しい。図を見て「重なってる辺・角はどこ？」と探す癖をつけよう。あと②は「仮定より」と書いてもいいけど、「Mは辺BCの中点なので」と、何から言えるのかまで書くほうが丁寧だよ。

問題3の解答

∠OABと∠AOBは、辺AOの両端の角。ここも指差し確認。そして∥の記号があったら錯角を探す、という反応ができれば、この問題は型どおりに解ける。

問題1〜3で考えていたのは、「等しい3つを探す」ことだけ。文章は毎回ほとんど同じだったよね。それが型で書くということなんだ。

問題4の解答

ゴールが辺のときは、まず合同を示して、最後に「合同な図形の対応する辺は等しい」を使う。この流れも型の一部として覚えておこう。

途中まででも書こう・練習のしかた

覚えようとしてノートを眺めるより、すぐテストするのが近道。

同じ問題を2回書くのは面倒に感じるかもしれないけど、証明は同じ問題を書き直すことで型が身についていく。1日3問なら、10日で30問になるよ。

中3で習う相似の証明も、書く流れはこの型と同じだよ。

まとめ

• 証明は才能じゃなくて「型」。型を覚えれば、作文じゃなく穴埋めに近くなる
• まずゴール（結論）を確認してから、合同条件に合うように逆算する
• 型は「2つの三角形を宣言 → 等しい3つを理由つきで → 合同条件 → ≡で結論」
• 理由はまず仮定・共通・対頂角・錯角の4つから探す
• 合同条件は「2組の辺とその間の角」「1組の辺とその両端の角」まで丸ごと覚える
• 減点されやすいのは対応の順番／理由を書かない／合同条件の勘違い
• 白紙で出すのが一番もったいない！書き出しの1行は必ず書こう

証明は、「やり方を知っているかどうか」で差がつきやすい単元。最初は型を見ながらでいいから、ノートに1問書いてみよう。書けたら、それがもう証明だよ。

証明の書き方を一緒に見てほしいときは、気軽に相談してね。