【中2数学】連立方程式の解き方｜加減法・代入法から文章題の式の立て方まで

連立方程式で手が止まるのは、たとえばこんなときだよ。

• 解き方が2つあって、どっちを使えばいいか迷う
• やり方はわかったのに、計算すると答えが合わない
• 計算はできるのに、文章題になると手が動かない

どれも、手順を知れば直せるつまずきだ。この記事では、解き方の選び方 → 計算で符号をまちがえないコツ → 文章題を式にする手順、の順番で、例題と練習問題を使ってひとつずつ片づけていくよ。

連立方程式は「文字を1つ消す」問題

連立方程式は、x と y、2つの分からない数を同時に求める問題だね。

ポイントは1つだけ。どちらか1つの文字を消して、1つの文字だけの方程式にすること。これさえできれば、あとは中1で習った一次方程式と同じだよ。

文字を消す方法は2つある。

• 加減法：2つの式をたしたり引いたりして、文字を1つ消す
• 代入法：「y = 〜」（または「x = 〜」）の式を、もう一方の式に代入して、文字を1つ消す

加減法と代入法、どちらを使う？

まず知っておいてほしいのは、連立方程式は加減法でも代入法でも解けるということ。どちらを使っても答えは同じだよ。それでも迷うのは、「どっちが計算がラクか」の見分け方を知らないから。目安は2つだけ。

たとえばこの2つを見比べてみよう。

【ア】 2x + 3y = 12
       3x - 3y = 3

【イ】 y = 2x - 1
       3x + y = 8

【ア】はどっちも「2x + 3y = …」みたいな形だから加減法。【イ】は「y =」の形の式があるから代入法。「x = 〜」「y = 〜」の形が見えたら代入法、見えなければ加減法。まずはこれだけ覚えればOKだよ。

【ア】を実際に解くと——足すと y が消えて 5x = 15、つまり x = 3。これを 2x + 3y = 12 に戻すと 6 + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2。答えは x = 3, y = 2 だね。

加減法で「引く」ときは、カッコの中の符号が全部変わる

たとえばこの連立方程式。

3x + 2y = 12
 x + 2y = 8

y の係数がどっちも「+2y」でそろってる。だから上の式から下の式を引けば、2y − 2y = 0 で y が消える。

ここで大事なのが、上の式から下の式を引くと、下の式の符号は全部ひっくり返るということ。ここが落とし穴だ。

引き算は、カッコの中の項ぜんぶにマイナスがかかる。−(x + 2y) は −x − 2y。+2y が −2y に変わって、はじめて y が消えるんだ。右辺も同じように引いて 12 − 8 = 4。だから 2x = 4 で x = 2。これを x + 2y = 8 に代入すると 2 + 2y = 8 で y = 3 になるよ。

後ろの項がマイナスのときは、もっと注意。−(−y) は +y になる。

カッコの中の全部の符号がひっくり返るのは、中1の「正負の数」「文字式のカッコ外し」とまったく同じルールだよ。ここがあいまいなら、まず文字式のカッコ外しに戻って確認しよう。

係数がそろっていないときは、何倍かしてそろえる

「足しても引いても、どっちの文字も消えない…」というときもある。

【ウ】 2x + y = 8
       3x + 2y = 14

このままだと、x も y も係数がバラバラで消えない。こういうときは、片方の式を何倍かして、係数をそろえるんだ。

どの文字をそろえるか決める

y の係数を見ると、上が「1」、下が「2」。だから上の式を2倍すれば、y の係数が2にそろう。

答えは x = 2, y = 4。最初に「どっちの文字をそろえるか」を決めるのがコツ。片方の式を何倍かするだけでそろう文字を選ぶと、計算がラクだよ。ここでは y（1を2倍すれば2）。x をそろえようとすると、上を3倍・下を2倍と、両方の式をかけ直すことになる。

何倍かするときは、右辺も忘れずに

もう1問。

2x + 3y = 7
 x + y = 3

x を消すために、下の式を2倍して x の係数を2にそろえるよね。

正しくは、式全体を2倍だから右辺も忘れずに。x + y = 3 の両辺を2倍すると、

2x + 2y = 6

これで上の式から引くと、

(2x + 3y) - (2x + 2y) = 7 - 6
y = 1

代入するときは文字を取り違えない。最後に検算

y = 1 が出たら、もう片方の文字 x を求めるために、もとの式に代入するね。

このとき、y = 1 を「y」に代入するのは当たり前……なんだけど、緊張すると x のところに1を入れちゃうことがある。これも見落としやすいミスだ。

x + y = 3 に y = 1 を入れて、

x + 1 = 3
x = 2

答えは x = 2, y = 1。

練習問題（計算）

ここまで読んだら、実際に解いてみよう。ノートに書いてやってみてね。

文章題は「式の前に表」

「計算はできるのに、文章題になると手が動かない」——これは頭の良し悪しでも、センスの問題でもない。「文章を式に変える手順」を知らないだけなんだ。だからその手順を、はっきり形にして渡すよ。

いきなり式を書こうとするから止まるんだ。式の前に表。順番はこれだけ。

何を x, y にするか決められないとき

文章を何回読んでも、x を何にするか決まらないまま時間が過ぎる——そんなときは、こう決めよう。

「求めなさい」の中身が2つあるなら、x と y の担当は最初から決まってる、ってこと。

単位をそろえる（分と時間、kmとm）

式は立ったのに答えが合わないときは、単位を疑おう。

時速3km で歩いた時間を出すのに、問題文の時間が「分」で書かれていたら、そのまま計算しちゃダメ。時速なら時間は「時間」でそろえる。20分は 20/60 = 1/3 時間だよ。

割合は「もとの数」にかける

割合の文章題でつまずきやすいのがここ。

「男子が 5%増えた」を、0.05 とだけ書いてしまう。違うんだ。5%増えたのは、去年の男子の人数の5%。だから式は 0.05 ×（去年の男子）になる。

割合には「の」がつく。「x の 5%」。この"の"を忘れなければ、何にかけるかで迷わない。

例題1：速さの文章題（表で解く）

A町からB町まで12kmの道のりを歩いた。途中の峠までは時速3kmの上り、峠からB町までは時速5kmの下りで、全部で3時間かかった。上りと下りの道のりをそれぞれ求めなさい。

ステップ①：聞かれているものを x, y に

「上りと下りの道のりを求めなさい」 → 上り x km、下り y km。

ステップ②：表を書く

速さの問題は、道のり・速さ・時間の表を書く。

時間は「道のり ÷ 速さ」だから、上りは x/3 時間、下りは y/5 時間。表を埋めるだけで、時間の欄が勝手に出てくるでしょ。これが表を書く理由。

ステップ③：「＝」で結べるところを2か所

表の右端（合計の列）を見て。道のりの合計＝12、時間の合計＝3。式が2本、目で見つかった。

x + y = 12
x/3 + y/5 = 3

下の式を15倍して分数を消す：5x + 3y = 45

上の式を3倍：3x + 3y = 36

引き算して 2x = 9、よって x = 4.5。x + y = 12 に戻して y = 7.5。

例題2：割合の文章題

ある中学校の去年の生徒数は500人だった。今年は男子が5%増え、女子が3%減ったので、全体では9人増えた。去年の男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。

基準になっている方を x, y にする

割合の問題は、「去年」を x, y にする。今年を x, y にすると式がぐちゃぐちゃになる。

理由はかんたんで、「5%増えた」の基準が去年だから。基準になっている方を文字にする——これが割合の文章題の鉄則。

表を書く

もう式が見えてるね。

x + y = 500
0.05x - 0.03y = 9

下の式を100倍：5x − 3y = 900

上の式を3倍：3x + 3y = 1500

足して 8x = 2400、よって x = 300。x + y = 500 に戻して y = 200。

練習問題（文章題）：食塩水

同じ手順でいけるか、自分で試してみて。

5%の食塩水と10%の食塩水を混ぜて、8%の食塩水を300g作りたい。それぞれ何g混ぜればよいか。

ヒント：表はこう。

食塩水も、速さも、割合も、やってることは全部同じ。表を書く → タテかヨコの合計を「＝」で結ぶ → 2本の式ができる。パターンごとに覚え直す必要はないんだ。

練習の進め方

覚える時間より、テストする時間を増やそう。ノートを見返すより、自分で思い出しながら解くほうが記憶に残りやすい。解く → 間違えたものだけ再テスト、を回していこう。計算問題も、毎日2問ずつでいいから手を動かしてみよう。

連立方程式は一次関数の「交点」にもつながる

連立方程式は、このあと習う一次関数でも使う。一次関数では「2つの直線の交点を求める」場面が出てくるんだけど、その交点の座標を求める計算が、まさに連立方程式そのもの。ここでしっかり身につけておくと、関数の問題にもそのまま使えるよ。

まとめ

連立方程式は「やり方の順番」さえ決まれば、あとは練習量で安定していく単元だよ。そして文章題で手が止まったら、式を書こうとせずに、まず表を書く。これだけで、白紙だった答案が埋まりはじめる。がんばれ。表、書こうな。

どこで手が止まっているのか自分では分からないときは、ろっく家庭教師がつまずきの原因を一緒に見つけるよ。