【中3数学】平方根の計算：√2+√3=√5がダメな理由と、たし算・かけ算・有理化の区別

「平方根、意味はわかるんだけど計算になると合わない」

平方根は、意味はわかっていても計算で点を落としやすい単元なんだ。

しかも厄介なことに、平方根はこのあと習う二次方程式や三平方の定理で何度も使う。ここを曖昧なままにしておくと、その先の単元でもずっと計算が合わないままになってしまう。

この記事では、平方根の計算がグチャグチャになる原因を1つずつ潰して、「見た瞬間にどの型か判断できる」ところまで持っていくよ。

まず結論：平方根の計算は「3つの型」しかない

平方根の計算問題は、見た目はいろいろでも、やることは次の3つに分かれる。

つまずく原因でよくあるのが、この①と②のルールのゴチャ混ぜ。「ルートの中はかけ算できる」という②のルールを、たし算の①にまで持ち込んじゃうんだ。

ここを分けるだけで、平方根の計算ミスはぐっと減らせる。順番に見ていこう。

型①：√2+√3=√5 がダメな理由

まずは、とてもよくあるミスから。

なぜダメなのか、数で確かめる

「ルールだから」で覚えると忘れる。実際の数で確かめてみよう。

• √2 ≒ 1.41
• √3 ≒ 1.73
• 足すと ≒ 3.14

一方で √5 ≒ 2.24。ぜんぜん違う数だよね。だから √2+√3 は √5 にならない。

たし算・ひき算は「文字式と同じ」と考える

ここが一番のコツ。√2 を x、√3 を y だと思ってみて。

• x + y は？ → まとめられない。x+y のまま
• x + x は？ → 2x

これと完全に同じ。

• √2 + √3 → まとめられない
• √2 + √2 → 2√2
• 3√5 − √5 → 2√5（3個 − 1個 = 2個）

落とし穴：中を小さくすると、まとめられることがある

ただし、ここで引っかかりやすい。

√8 + √2 は？

「中が8と2で違うからまとめられない」——と即答したら、それは早い。√8 は簡単にできる。

√8 = √(4×2) = √4 × √2 = 2√2

だから √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2。

中を小さくするやり方は、中身を「◯×◯（同じ数のペア）」に分けるだけ。√12 なら 12 = 4×3 = 2×2×3 なので、2のペアが1組できて外に出て 2√3。

型②：かけ算・わり算は中身どうしを計算していい

たし算がダメなのに、かけ算はOK。ここが混乱の元だから、はっきり区別しよう。

• √2 × √3 = √6 　← これは正しい
• √2 + √3 = √5 　← これは間違い

同じ「2と3」なのに、かけ算は中身が合体して、たし算は合体しない。理不尽に見えるけど、さっきの文字式で考えれば当たり前で、x × y = xy はまとめられるけど、x + y はまとめられないのと同じこと。

かけ算の答えも、最後に中を小さくする

2√3 × √6 を計算してみよう。

1. 外どうし・中どうしで分けてかける → 2 × √(3×6) = 2√18
2. √18 を小さくする → √18 = √(9×2) = 3√2
3. よって 2 × 3√2 = 6√2

ここで「2√18」で止めると✕になる。答えを書く前に、必ずルートの中がこれ以上小さくならないか確認する。これはクセにするしかない。

型③：分母にルートが残っていたら消す（有理化）

最後は有理化。名前が難しそうだけど、やることは1つだけ。

例：3/√2 を有理化する。

分母が √2 なので、上下に √2 をかける。

3/√2 = (3×√2)/(√2×√2) = 3√2/2

分母の √2×√2 が 2（ルートが消える）になるのがポイント。√a × √a = a は必ず覚えておこう。

有理化でつまずく2パターン

パターンA：分子にもルートがある

√3/√5 → 上下に √5 → (√3×√5)/(√5×√5) = √15/5

分子は √3×√5=√15 と中身をかける（型②のルール）。ここでうっかり足さないこと。

パターンB：分母の中が小さくできる

4/√8 → いきなり √8 をかけずに、まず √8=2√2 に直す。

4/(2√2) = 2/√2 → 上下に √2 → 2√2/2 = √2

先に整理してから有理化すると、数字が小さくて済むし約分ミスも減る。「中を小さく → 有理化」の順番を守ろう。

練習問題3問（手を動かそう）

読むだけでは身につかない。紙とペンを出して、実際に書いてみて。

(1) √27 − √3

(2) 3√2 × √10

(3) 6/√3

解答と解説

(1) √27 − √3 = 2√3

まず √27 を小さくする。27 = 9×3 なので √27 = 3√3。 よって 3√3 − √3 = 2√3（3個から1個引いて2個）。

※ ここで「√27−√3=√24」としたら型①のミス。中身の引き算はできない。

(2) 3√2 × √10 = 6√5

外どうし・中どうしに分ける → 3 × √(2×10) = 3√20。 √20 = √(4×5) = 2√5 なので、3 × 2√5 = 6√5。

※ 3√20 で止めると✕。最後に中を小さくするのを忘れずに。

(3) 6/√3 = 2√3

上下に √3 をかける → (6×√3)/(√3×√3) = 6√3/3。 最後に 6÷3=2 で約分して 2√3。

※ 6√3/3 のままだと減点されることがある。約分できないか最後に見るのは平方根に限らず全部の計算で同じ。

見直しのときに見る3ヶ所

テストで平方根が出たら、答えを書いたあとにここだけ確認して。10秒で終わる。

1. ルートの中に、4・9・16・25 が隠れてないか（√8、√12、√18、√20、√27、√32、√48、√50 は要注意）
2. 分母にルートが残っていないか
3. 外の数字が約分できないか

この3つを見るだけで、平方根の失点はかなり減る。

入試との関係：平方根の計算は取りこぼしたくない

高校入試の数学では、はじめの計算問題に平方根の計算がよく入っている。難しい応用ではなく、教科書レベルの計算だ。

つまり平方根は、入試本番でいちばん取りこぼしたくない問題なんだ。関数や図形の後半で苦戦するのは仕方ないとしても、ここは全員が満点を取りにいく場所。

やり方はテスト繰り返し法でいい。10問解く → すぐ丸つけ → 間違えたものだけもう一度解く → 全部合うまで繰り返す。眺めて覚えようとするより、手を動かして間違えたところを解き直すほうが記憶に残るから、そこを回数で稼ぐんだ。

まとめ

• 平方根の計算は ①たし算・ひき算 ②かけ算・わり算 ③有理化 の3つの型しかない
• √2+√3=√5 は間違い。たし算は「中が同じもの」だけまとめられる（文字式と同じ）
• かけ算は中身どうしをかけてOK。ただし最後に中を小さくする
• 有理化は分母のルートを上下にかけるだけ。先に中を小さくすると数字がラク
• 見直しは「中に4・9・16が隠れてないか」「分母のルート」「約分」の3ヶ所

平方根でつまずいてる子は、頭が悪いんじゃなくてルールが混ざってるだけ。3つの型に分けて整理すれば、迷わず手が動くようになる。

どこから手をつければいいか迷ったら、まずこの平方根から整理していこう。ここが固まると、このあとの単元がぐっとラクになるよ。